——“植树问题”一课的思考
夹江县外国语实验学校 吴霞
［摘要］植树问题这个内容很多学生可能在课外已经学习过，大部分学生可能已经知道结论，当教学的知识学生会了，教什么，怎么教？针对学情，以问引学，找到学生真正的问题所在，提出真问题，引发学生的真研究，学生在学习的过程中知道的不只是知识本身，还有科学研究的方法，重要的数学思想方法。理解知识背后所隐藏的真正原理。
［关键词］植树问题 以问引学 研创
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔）由于路线的不同（“植树的路线可以是一条线段”，也可以是一条首尾相接的封闭曲线如圆形）、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆，等等，这些问题中都隐藏着棵数和间隔数之间的关系。植树模型是非常重要的数学模型。本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用规律来解决生活中的简单实际问题。在研究植树问题时，有时不免会在心中进行一番思量和追问：“植树问题”为什么之前出现在四年级的教材，现在又出现在五年级的教材？“植树问题”仅仅是“植树”的问题吗？我们研究的目的仅仅是得到间隔数和棵树之间的关系吗？当我们把树植好后，学生可以感受到什么呢？
一、基于学情，构建知识经验与生活经验
小学五年级学生已经有了一定的数学经验和数学学习方法，抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力，但思维仍以形象思维为主。同时五年级的学生对于植树问题已有丰富的生活经验，五个手指头4个间隔，回家爬楼梯时一梯没有楼梯等，像这样的现象在日常生活中常见，学生容易在生活中找到相关的原型。从二年级开始接触，如排队、锯木头、花坛摆花等等，学生已经有了丰富的感性认识，并有了自己的一些解决方法。从知识层面来说，植树问题的知识基础就是除法，要让学生明白这里为什么用除法，除法算的是什么？所以植树问题首先应该解决的是唤起学生的回忆，打通知识之间的联系。
师:学校买回100m的弹力带，每2米制作成一根，可以制作成多少根呢？
生：50根
师：你是怎么想的？为什么用除法计算
生：100÷5=20，算的是100里面有多少个5.
师：体育组老师有一根长20dm的的小木棍，要制作成2dm一根的接力棒，可以制作成多少根接力棒呢？
生：10根
师：你是怎么想的？为什么用除法计算
生：20÷2=10，算的是20里面有多少个2.
以上片断中，与学生的生活经验紧密相联，同时通过这样的课前活动唤起学生的生活经验和知识经验，为植树问题找到学习的起点。
二、基于学情，提出真问题，引发真研究
学生对于植树问题并不陌生，甚至很多学生在课外已经学过植树问题了，那这堂课到底学生需要解决的是什么问题呢？基于学情，我们创造性的使用教材，把例题中的100m改成更长的1000m的路边植树，学生知道用1000÷5=200，算的是1000里面有200个5米，学生对于这里最大的困惑就是间隔数算出来之后到底是需要加1还是不加1，针对学生对于植树问题存在的最大困惑以此来引发学生的真正研究，为学生指明研究的方向。通过猜想—验证—归纳—应用规律，让学生体会数学研究的完整过程。
师：同学们，思考一下，你认为需要植多少棵树？你是怎么想的？
生（1）1000÷5=200 （为什么用除法） （2）1000÷5+1=201
师： 对比两个同学的想法，有什么相同的地方，不同在于哪里？
生：都有除法，加1还是不加1
师：那到底加1还是不加1呢？你有办法证明你的想法吗？
生：画图。学生两人小组合作，画图研究证明。
学生作品展示
显然，这样的孩子已经知道结论是201棵，他是在用结论来说理，并没有把关系背后的原理说出来。有孩子就提出既然不能画出201棵树来证明，那就用短一点的路来研究。
从作品中可以充分看出孩子已经有化繁为简的数学思想了，他们用了不同长度的来说理，到底是该不该加1。学生研究间距是5m，总长为10m、20m、30m等，都验证出了棵树比间隔数多1。在整个交流过程中不断的追问，为什么棵树会比间隔数多1，多在哪里？让学生进行思辨，抓住植树问题的本质——一一对应。学生通过不完全归纳，找到了棵树和间隔数之间的关系。
师：刚才通过从短的路开始研究，通过对不同长度的路， 每隔5米栽一棵，找到了棵树和间隔数之间的关系，那同学们来瞧一瞧这幅作品能不能证明，棵树和间隔数之间的关系呢？
生：不能，不是每隔5米栽一棵
生：可以，对应之后就多了一棵树
师：你上来具体说一说呢？
生利用图片，一一对应之后，确实多出来一棵树
师：那这幅图呢？
从学生作品中可以看到从形象图到抽象的线段图，教师提出哪一种更好呢？让学生逐步明白研究手段的优化。学生从改变总长到改变总长和间距再到没有任何数据线段图。教师在整个交流的过程中往后退，把学生推到前面，让学生充分的表达，在学生与学生的互动中，通过画图、说理去解释，你懂了要想办法让别人都懂。学生明白了无论总长、间距怎么变，不变的是棵树和间隔数之间的关系，而这个关系的本质就是一一对应。学生在生生互动的过程中深度的建构起两端都植的数学模型。当学生研究透彻了两端都植的情况，有了研究的经验和方法，抓住了植树问题的本质，学生就有了自主创生的经验和基础了。
三、基于经验，有理有效创学
学生的创学应是有理有据的，而不是凭空猜想的。学生的创学是基于学习过程中累积的知识经验和研究经验，有了这些，才会引发更深层次的思考，才会更高层次的创学。
师：那如果是一端植一端不植，棵树和间隔数又会是怎样的关系呢？
生：棵树=间隔数
师：你是怎么想的？
生：（推理）两端都植的时候，棵树=间隔数+1，现在有一端不植了，那么多出来的那棵树就不要了，棵树就等于间隔数了。
师：我有点不明白，你能不能更好的方法让我明白呢？
生：画图
师：这里有一些图，能不能利用呢？
生：用两端都植的图进行推理。
通过研究两端都栽的情况，部分学生可以通过推理得知，只植一端的情况，和两端都不植的情况下，棵树和间隔数之间的关系。这就是学生的创，但是推理的过程比较抽象，对于很多学生来说还是不能够理解，这时就有学生提出依据两端都植的图进行推理证明，数形结合，推理的过程更易理解，在图中抓住一一对应这一本质，找到棵树和间隔数之间的关系，水到渠成。
通过学生的研究，建立起了植树问题三种情况的数学模型，让学生进行对比沟通，明确差异，方便学生理解记忆，更加深刻的构建起这三种情况的数学模型。同时为加深学生对植树问题数学模型的印象，而“数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法。因此设计了三个实际问题。
（1）5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。 一共设有多少个车站？
（2）小红房间（如上图）挂了一串长2米的千纸鹤，每隔10厘米穿一个，一共有多少个千纸鹤？（只植一端情况）
（3）为了美化校园，学校在长30米的走廊上每隔2米摆一个盆栽（两端不摆），一共摆了多少个盆栽？
数学教学应以生为本，学为中心，让学生成为真正的学习的主人。教师的引导不是硬性地把学生导向自己预设的框架中，而应是根据学生的经验精心的设计问题，抓住课堂的核心问题，利用学生的课堂生成，引导学生积极主动的探究，在实践探究的过程中激发学生主动学习的本能和欲望，感受数学学习的乐趣，变“要我学”为“我要学”。学生学习的不只是知识本身，还有科学研究的方法，重要的数学思想方法以及知识背后所蕴含的原理，更重要的是学习知识的方法和能力。
［参考文献］
《数学教师教学用书》五年级上册
《小学数学教师》2019年第1期
